t-Test für unabhängige Stichproben

Der t-Test für unabhängige Stichproben testet, ob die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben verschieden sind.

Die Fragestellung des t-Tests für unabhängige Stichproben wird oft so verkürzt:
"Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben?"

• Sinkt die Verkehrsbelastung (Anzahl Fahrzeuge pro Stunde) in der Hauptverkehrszeit in einem Dorf nach dem Bau einer Umfahrungsstrasse?
• Unterscheiden sich Personen mit selbstständiger oder unselbständiger Tätigkeit bezüglich ihrer Zufriedenheit mit ihrer beruflichen Situation?
• Gibt es einen Unterschied in der durchschnittlichen Anzahl Einbrüche in Häuser mit und ohne Alarmanlage?
• Hat das Hören von klassischer Musik oder Schlagermusik während des Lernens von Vokabeln einen unterschiedlichen Einfluss auf den Lernerfolg?

Die Schulklasse B hat ein Gedächtnistraining erhalten, die Schulklasse A nicht. Anhand eines Gedächtnistests (Index von 1 bis 100) wird nun gemessen, ob sich die beiden Gruppen in ihren Gedächtnistestresultaten unterscheiden.

Der zu analysierende Datensatz enthält neben einer Personennummer (ID) die Klassenzugehörigkeit (Schulkasse) und das Ergebnis des Gedächtnistests (Gedächtnistest).

Der Beispieldatensatz kann unter Quick Start heruntergeladen werden.

Der t-Test für unabhängige Gruppen setzt Varianzhomogenität voraus. Dies wird in Kapitel 3.3 mit SPSS geprüft. Für die manuelle Berechnung der Teststatistik wird dies einfachheitshalber nicht geprüft.

Berechnen der Teststatistik

Bereits "von Auge" zeigt sich ein Unterschied zwischen den Mittelwerten (siehe Abbildung 1). Um zu überprüfen, ob dieser Unterschied statistisch signifikant ist, muss die dazugehörige Teststatistik berechnet werden. Die Verteilung der Teststatistik t folgt einer theoretischen t-Verteilung, deren Form sich in Abhängigkeit der Freiheitsgrade unterscheidet. Die dem Test zu Grunde liegende t-Verteilung gibt dem Test den Namen t-Test.

Die Teststatistik t berechnet sich wie folgt:

mit

Sind die Populationsvarianzen bekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt berechnet:

mit

Sind die Populationsvarianzen unbekannt, so wird der Standardfehler der Mittelwertsdifferenz wie folgt geschätzt:

mit

Der Schätzer für die gepoolte Varianz wiederum errechnet sich wie folgt:

mit

	=	Stichprobengrössen der beiden Stichproben
	=	Freiheitsgrade
	=	Stichprobenvarianzen der Variablen x1 und x2

Für das vorliegende Beispiel sind die Populationsvarianzen nicht bekannt, so dass sich nach Einfügen der Werte aus Abbildung 1 in die entsprechenden Formeln folgendes ergibt:

Signifikanz der Teststatistik

Der berechnete Wert muss nun auf Signifikanz geprüft werden. Dazu wird die Teststatistik mit dem kritischen Wert der durch die Freiheitsgrade bestimmten t-Verteilung verglichen. Dieser kritische Wert kann Tabellen entnommen werden. Abbildung 2 zeigt einen Ausschnitt einer t-Tabelle, der einige kritische Werte für die Signifikanzniveaus .05 und .01 zeigt.

Abbildung 2: Ausschnitt aus einer t-Tabelle

Für das vorliegende Beispiel beträgt der kritische Wert 2.01 bei df = 45 und α = .05 (siehe Abbildung 2). Ist der Betrag der Teststatistik grösser als der kritische Wert, so ist der Unterschied signifikant. Dies ist für das Beispiel der Fall (|-2.49| > 2.01). Es kann also davon ausgegangen werden, dass sich die beiden Mittelwerte signifikant unterscheiden (t(45) = -2.49, p < .05).

SPSS-Menü: Analysieren > Mittelwerte vergleichen > t-Test bei unabhängigen Stichproben

Hinweis

• Da die unabhängige Variable (Gruppenvariable) mehr als zwei Gruppen unterscheiden könnte, müssen unter Gruppen definieren jene Werte angegeben werden, die die beiden Gruppen beschreiben. Im Beispiel sind das 1 und 2, da im Datensatz Schulklasse A als 1 und Schulklasse B als 2 codiert wurde.

SPSS-Syntax
         T-TEST GROUPS=Schulklassen (1 2)
         /MISSING=ANALYSIS
         /VARIABLES=Gedächtnistest
         /CRITERIA=CI (.95).

Abbildung 4: SPSS-Output - Gruppenstatistik

In Abbildung 4 zeigt sich, dass sich die Mittelwerte augenscheinlich etwas unterscheiden. Diese Tabelle wird später für die Berichterstattung verwendet.

Der t-Test für unabhängige Gruppen setzt Varianzhomogenität voraus. Liegt Varianzheterogenität vor (also unterschiedliche Varianzen), so müssen unter anderem die Freiheitsgerade des t-Wertes angepasst werden. Ob die Varianzen homogen ("gleich") sind, lässt sich mit dem Levene-Test auf Varianzhomogenität prüfen. Dieser Test ist eine Variante des F-Tests.

Der Levene-Test verwendet die Nullhypothese, dass sich die beiden Varianzen nicht unterscheiden. Daher bedeutet ein nicht signifikantes Ergebnis, dass sich die Varianzen nicht unterscheiden und somit Varianzhomogenität vorliegt. Ist der Test signifikant, so wird von Varianzheterogenität ausgegangen.

Abbildung 5: SPSS-Output – Levene-Test der Varianzgleichheit

Für das Beispiel gibt SPSS einen F-Wert von 1.157 und eine dazugehörige Signifikanz von p = .288 aus (siehe Abbildung 5). Im Beispiel liegt also Varianzhomogenität vor (Levene-Test: F(1,45) = 1.157, p = .288, n = 47). 

SPSS (Abbildung 5) gibt bei der Durchführung eines t-Tests für unabhängige Stichproben automatisch sowohl die Ergebnisse des t-Tests bei Varianzhomogenität (Zeile "Varianzen sind gleich") als auch bei Varianzheterogenität aus (Zeile "Varianzen sind nicht gleich"). Der Test, welcher bei Varianzheterogenität berichtet wird, wird auch als "Welch-Test" bezeichnet, da es sich um einen t-Test mit "Welch-Korrektur" handelt.

Da im Beispiel Varianzhomogenität vorliegt, wird die Zeile "Varianzen sind gleich" betrachtet: Die Teststatistik beträgt t = -2.489 und der zugehörige Signifikanzwert p = .017. Damit ist der Unterschied signifikant: Die Mittelwerte der beiden Schulklassen unterscheiden sich (t(45) = -2.489, p = .017).

Um die Bedeutsamkeit eines Ergebnisses zu beurteilen, werden Effektstärken berechnet. Im Beispiel ist der Mittelwertsunterschied zwar signifikant, doch es stellt sich die Frage, ob der Unterschied gross genug ist, um ihn als bedeutend einzustufen.

Es gibt verschiedene Arten die Effektstärke zu messen. Zu den bekanntesten zählen die Effektstärke von Cohen (d) und der Korrelationskoeffizient (r) von Pearson. Der Korrelationskoeffizient eignet sich sehr gut, da die Effektstärke dabei immer zwischen 0 (kein Effekt) und 1 (maximaler Effekt) liegt. Wenn sich jedoch die Gruppen hinsichtlich ihrer Grösse stark unterscheiden, wird empfohlen, d von Cohen zu wählen, da r durch die Grössenunterschiede verzerrt werden kann.

Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten r werden der t-Wert und die Freiheitsgrade (df) verwendet, die Abbildung 6 entnommen werden können:

Für das obige Beispiel ergibt das folgende Effektstärke:

Zur Beurteilung der Grösse des Effektes dient die Einteilung von Cohen (1992):

r = .10 entspricht einem schwachen Effekt
r = .30 entspricht einem mittleren Effekt
r = .50 entspricht einem starken Effekt

Damit entspricht eine Effektstärke von .35 einem mittleren Effekt.

Schulklasse B, die ein Training erhalten hat, schneidet im Gedächtnistest besser ab (M = 81.56, SD = 10.198, n = 25) als Schulklasse A (M = 74.32, SD = 9.668, n  = 22), welche kein Training erhalten hat, t(45) = -2.489, p = .017. Die Effektstärke nach Cohen (1992) liegt bei r = .35 und entspricht damit einem mittleren Effekt.